组合数学中心

郭龙

职称：教授

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办公地址：组合数学中心108

个人主页：https://cfc.nankai.edu.cn/gl/main.htm

南开大学组合数学中心教授，博士生导师。研究方向是代数组合学，主要关注组合学与表示论、代数几何、离散几何相交叉的内容，工作集中在Schubert计数演算、对称函数、多面体、Kazhdan-Lusztig理论等课题。与合作者解决了ICM邀请报告人Igor Pak、András Némethi ，数学顶刊《J. AMS》前任副主编Victor Reiner以及现任副主编Thomas Lam等人提出的多个猜想和公开问题；在ICM邀请报告人Gunter Ziegler倡导研究的超立方子多面体的计数问题上取得实质进展。相关结果发表在《Math. Z.》、《Science China Math.》、《J. Combin. Theory Ser. A》、《Discrete & Comput. Geom.》等期刊，受到包括Fields奖获得者、ICM邀请报告人的关注和引用。

工作经历

2011.07-2015.12, 组合数学中心讲师
2016.01-2021.12, 组合数学中心副教授
2022.01-至今，组合数学中心教授

教育经历

2002.09-2006.06，山东大学数学学院学士
2006.09-2011.06，南开大学组合数学中心博士
投稿论文
1. 1. with Zhuowei Lin
  Schubert polynomials and patterns in permutations
  arXiv:2412.02932v1
  建立了Schubert多项式的Newton多面体中格点数目的一个下界。
2. 2. with Zhuowei Lin and Simon C.Y. Peng
  Zero-one dual characters of flagged Weyl modules
  arXiv:2411.10933v1
  解决了旗外尔模的特征标的系数等于0或1的组合刻画的猜想。
3. 3.with Neil J.Y. Fan, Changjian Su, and Rui Xiong
  A Pieri type formula for motivic Chern classes of Schubert cells in Grassmannians
  arXiv:2402.04500v1
  建立了格拉斯曼流形中Schubert胞腔的motivic陈类的Pieri公式，并由此得到两个重要应用。
4. 4.with Neil J.Y. Fan and Rui Xiong
  Bumpliess pipedreams meet puzzles
  arXiv:2309.00467v1
  利用可解lattice model建立了double Grothendieck多项式在separated-descent情况下的Triple Schubert Calculus结构常数的组合公式。
5. 5.with Neil J.Y. Fan and Rui Xiong
  Pieri and Murnaghan--Nakayama type rules for Chern classes of Schubert cells
  arXiv:2211.06802v1
  建立了经典旗流形中Schubert胞腔的陈类的Pieri公式以及Murnaghan--Nakayama公式。
6. 6.with Neil J.Y. Fan and Nicolas Y. Liu
  An Involution on Semistandard Skyline Fillings
  arxiv.org/abs/2010.08156
  Key多项式有多个组合解释，其中skyline填充是最重要的一个模型。skyline填充模型的证明需要利用
  Jim Haglund, Mark Haiman和Nick Loehr建立的非对称Macdonald多项式的组合模型（A combinatorial formula for nonsymmetricMacdonald polynomials,
  Amer. J. Math., 2008），以及Bogdan Ion建立的非对称Macdonald多项式和Key多项式的关系（Nonsymmetric Macdonald polynomials and Demazure characters,
  Duke Math. J., 2003）。Sami Assaf利用“fundermental slide polynomial”得到了该模型另外一个的证明
  （Nonsymmetric Macdonald polynomials and a refinement of Kostka-Foulkespolynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 2018），该证明仍旧很不平凡。
  论文通过引入组合算法（推广了经典的Bender-Knuth算法），给出了skyline填充模型的一个初等组合证明。
7. 7.with Neil J.Y. Fan and Sophie C.C. Sun
  Bumpless Pipedreams, Reduced Word Tableaux and Stanley Symmetric Functions
  arXiv:1810.11916
  Richard Stanley于1984年引入了Stanley对称函数（On the number of reduced decompositions of elements of Coxeter groups,
  European J. Combin., 1984），其出发点是计数排列的“既约表示”的个数。此后，人们认识到Stanley对称函数
  是Schubert多项式的稳定形式，这个发现从根本上提升了Stanley对称函数的重要性，使得Stanley对称函数成为
  Stanley最重要的工作之一。Stanley对称函数具有Schur正性（Schur positivity，即：以Schur函数为基展开，系数为正整数）。
  该性质首先被Paul Edelman和Curtis Greene证实（Balanced tableaux, Adv. Math., 1987），他们证明系数可以通过特殊类型
  的杨表来计数。近期， Thomas Lam, Seung Jin Lee和Mark Shimozono发现该系数可以由一种新的组合结构“bumpless pipedream”
  计数（Back stable Schubert calculus, Compositio Math., 2021）。Thomas Lam, Seung Jin Lee和Mark Shimozono的证明使用
  了代数几何方法，他们提出寻找组合证明这一公开问题。论文解决了这个公开问题.
发表论文
1. 1.with Neil J.Y. Fan and Nicolas Y. Liu
  Complements of Schubert polynomials
  Advances in Applied Mathematics 157 (2024), Paper No. 102691, 16 pp.           【arXiv版本】【杂志版本】
  
  论文尝试研究了Schubert多项式取补的性质。
  
  2.with Neil J.Y. Fan
  Poincare polynomials of odd diagram classes
  SIAM Journal on Discrete Mathematics 36 (2022), 2225–2237.          【arXiv版本】【杂志版本】
  
  论文解决了Francesco Brenti, Angela Carnevale和Bridget Tenner提出    的Bruhat偏序下一类区间（odd diagram class）的秩对称性猜想
  （Odd diagrams, Bruhat order, and patternavoidance, Combin. Theory, 2022）。我们猜测以上区间对应的Kazdan-Lusztig多项式恒等于1。
2.    3.with Neil J.Y. Fan
  Upper bounds of Schubert polynomials
  Science China Mathematics 65 (2022), 1319–1330.          【arXiv版本】【杂志版本】
  
  论文建立了Schubert多项式和Key多项式达到上界的条件。该结果被     June Huh, Jacob Matherne, Karola Meszaros和
  Avery St. Dizier应用，部分证明了Schubert多项式的洛伦兹猜想（arXiv:1906.09633v3）。结合该论文的结果和证明思路，
  Karola Meszaros和Arthur Tanjaya研究了Schubert多项式的线性组合的非负性质（Inclusion-exclusion on Schubert polynomials, arXiv:2102.11179v1），
  部分证明了Yibo Gao提出的一个关于Schubert多项式特殊化的猜想。
3. 4.with Neil J.Y. Fan
  Set-valued Rothe tableaux and Grothendieck polynomials
  Advances in Applied Mathematics 128 (2021), 102203. 【arXiv版本】【杂志版本】
  
  论文建立了1432-禁排对应的Grothendieck多项式的（集合值）杨表公式。
4. 5.with Neil J.Y. Fan
  Vertices of Schubitopes
  Journal of Combinatorial Theory, Series A 177 (2021), 105311. 【arXiv版本】【杂志版本】
  
  Schubitope是旗外尔模（Flagged Weyl module）的特征标对应的Newton多面体，包含Schubert多项式
  以及Key多项式的Newton多面体作为特殊情况。论文建立了Schubitope的顶点的组合刻画。作为应用，
  证明了Cara Monical, Neriman Tokcan和Alex Yong提出的关于Key多项式的Newton多面体顶点的
  顶点刻画猜想（Newton polytopes in algebraic combinatorics, Selecta Math., 2019）。
5. 6.with Neil J.Y. Fan, Simon C.Y. Peng and Sophie C.C. Sun
  Lattice points in the Newton polytopes of Key polynomials
  SIAM Journal on Discrete Mathematics 34 (2020), 1281-1289. 【arXiv版本】【杂志版本】
  
  论文证明了Cara Monical, Neriman Tokcan和Alex Yong提出的关于Key多项式的Newton多面体中格点
  （lattice points）的一个组合刻画猜想（Newton polytopes in algebraic combinatorics, Selecta Math., 2019）。
6. 7.with Neil J.Y. Fan
  A note on specializations of Grothendieck polynomials
  Discrete Mathematics 343 (2020), 111877. 【arXiv版本】【杂志版本】
  
  Anders Buch和Richard Rimanyi利用Hecke代数证明了Grothendieck多项式局部化公式（Specializations of Grothendieck polynomials,
  C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I, 2014）。Alex Yong和Alex Woo利用代数几何的方法重新证明了这个公式
  （A Grobner basis for the Kazhdan-Lusztig ideals, Amer. J. Math., 2012）。论文给出了该公式的一个初等组合证明。
7. 8.with Sophie C.C. Sun
  Identities on factorial Grothendieck polynomials
  Advances in Applied Mathematics 111 (2019), 101933. 【arXiv版本】【杂志版本】
  
    Laszlo Feher,Andras Nemethi 和Richard Rimanyi用几何方法得到了一个关于Schur函数的等式，
    并提出寻找组合证明这一公开问题（Equivariant classes of matrix matroid varieties, Comment. Math. Helv., 2012）。
    论文给出了该等式的组合证明，并将该等式推广到阶乘Grothendieck多项式（即Grassmannian排列对应的Grothendieck多项式）。
8. 9.with Jack C.D. Zhao and Michael X.X. Zhong
  Proof of a conjecture of Morales-Pak-Panova on reverse plane partitions
  Advances in Applied Mathematics 108 (2019), 45-66.【arXiv版本】【杂志版本】
9. 10.with Neil J.Y. Fan and Sophie C.C. Sun
  Proof of a conjecture of Reiner-Tenner-Yong on barely set-valued tableaux
  SIAM Journal on Discrete Mathematics 33 (2019), 189-196. 【arXiv版本】【杂志版本】
10. 11.with Neil J.Y. Fan and Grace L.D. Zhang
  On parabolic Kazhdan-Lusztig R-polynomials for the symmetric group
  Journal of Pure and Applied Algebra 221 (2017), 237-250. 【arXiv版本】【杂志版本】
11. 12.with William Y.C. Chen, Alan J.X. Guo, Harry H.Y. Huang and Thomas Y.H. Liu
  s-Inversion sequences and P-partitions of type B
  SIAM Journal on Discrete Mathematics 30 (2016), 1632-1643. 【arXiv版本】【杂志版本】
12. 13.with William Y.C. Chen and Sabrina X.M. Pang
  Vacillating Hecke tableaux and linked partitions
  Mathematische Zeitschrift 281 (2015), 661-672. 【arXiv版本】【杂志版本】
13. 14.with William Y.C. Chen
  Equivalence classes of full-dimensional 0/1-polytopes with many vertices
  Discrete & Computational Geometry 52 (2014), 630-662. 【arXiv版本】【杂志版本】
14. 15.with William Y.C. Chen, Neil J.Y. Fan, Alan J.X. Guo, Harry H.Y. Huang and Michael X.X. Zhong
  Combinatorial proof of the inversion formula on the Kazhdan-Lusztig R-Polynomials
  Mathematische Zeitschrift 277 (2014), 1017-1025. 【arXiv版本】【杂志版本】
15. 16.with William Y.C. Chen and Oliver X.Q. Gao
  q-Hook length formulas for signed labeled forests
  Advances in Applied Mathematics 51 (2013), 563-582. 【arXiv版本】【杂志版本】
16. 17.with William Y.C. Chen
  Oscillating rim hook tableaux and colored matchings
  Advances in Applied Mathematics 48 (2012), 393-406. 【arXiv版本】【杂志版本】
17. 18.with William Y.C. Chen and Oliver X.Q. Gao
  On Han's hook length formulas for trees
  The Electronic Journal of Combinatorics 18 (2011), #P155. 【arXiv版本】【杂志版本】
18. 19.with William Y.C. Chen and Oliver X.Q. Gao
  Hook Length formulas for trees by Han's expansion
  The Electronic Journal of Combinatorics 16 (2009), #R62 【arXiv版本】【杂志版本】